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8.4. Severidad de la ruina 213

1
a) L F S x u s e λ L f s 1 x .
s
1
b) L F S x u cx s e cs λ L f s 1 x .
s
c) L f ˜ S x u cx s e cs λ L f s 1 x .
As´ı, el inciso (b) muestra que el primer sumando de (8.8) es la transformada
de Laplace de u F S x u cx , y por el inciso (c) el segundo sumando es
x
ψ 0,y c L f ˜ S x y u c x y s dy
0
x
ψ 0,y c e sv ˜ S x y u c x y du dy
f
0 0
x
e sv c ψ 0,x z f ˜ S z u cz dz du.
0 0
Por lo tanto, cada t´ermino de la ecuaci´on (8.8) es una transformada de
Laplace. Por la propiedad de unicidad, las funciones originales deben coin-
cidir, y as´ı es como se obtiene la ´ultima ecuaci´on de la proposici´on. !

Observe que la funci´on x ψ u, x es mon´otona decreciente y tiene como
l´ımite la probabilidad ψ u cuando x . As´ı, suponiendo v´alido el inter-
cambio de este l´ımite con la derivada respecto de x, la ecuaci´on diferencial
encontrada para ψ u, x se reduce a la ecuaci´on para ψ u .

8.4. Severidad de la ruina

Consideremos nuevamente el proceso de riesgo C t : t 0 con capital
inicial u. En esta secci´on nos convendr´a escribir la variable C t como C t .
Supongamos que estamos en la situaci´on cuando el tiempo de ruina τ es
finito. En este caso podemos considerar las siguientes variables aleatorias

X : C τ ,
Z : C τ .

Estas cantidades representan, respectivamente, el valor del proceso de riesgo
un instante antes de la ruina y el valor del proceso justo en el momento de
la ruina. Las variables X y Z se muestran gr´aficamente en la Figura 8.3.