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214 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

C t ω

u
X

t
τ
Z

Figura 8.3

Como antes, a la variable Z le llamaremos severidad de la ruina. El problema
que se plantea ahora es el de encontrar la probabilidad conjunta
ϕ u, x, z P τ ,X x, Z z ,

para cualesquiera x 0, z 0. Es claro que esta probabilidad es una
versi´on m´as elaborada que la probabilidad de ruina ψ u P τ yque
se cumplen las siguientes relaciones:

ϕ u, x, z ϕ u, 0,z ,
ϕ u, x, z ϕ u, x, 0 ,
ϕ u, x, z ψ u ,
ϕ u, 0, 0 ψ u .

Como es de esperarse, no se cuenta con una f´ormula expl´ıcita para ϕ u, x, z ,
pero encontraremos una ecuaci´on integral para esta probabilidad. La de-
mostraci´on de la ecuaci´on integral para ϕ u, x, z sigue la misma t´ecnica
que la que se present´o para el caso de la probabilidad de ruina, es decir,
condicionaremos sobre el monto y el momento de la primera reclamaci´on.
Observemos que la probabilidad ϕ u, x, z se anula cuando el capital inicial
crece a infinito, es decir

l´ım ϕ u, x, z l´ım ψ u 0.
u u