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212 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Para encontrar la cuarta identidad reescribiremos esta ecuaci´on en t´ermi-
nos de la transformada de Laplace. Recordemos que la expresi´on L s, x
ψ
denotar´a la transformada de Laplace de la funci´on u ψ u, x ,es decir,

L s, x e su ψ u, x du.
ψ
0
As´ı, calculando la transformada de Laplace t´ermino a t´ermino de la ecuaci´on
diferencial (8.6) se obtiene

λ 1
sL s, x ψ 0,x L s, x L s, x L f s L s, x .
ψ c ψ ψ λ x ψ

Obien,

L s, x L s, x cs λ L f s 1 cψ 0,x .
x ψ ψ
De esta forma la derivada respecto de la variable u en la ecuaci´on diferencial
parcial (8.6) ha sido absorbida por la transformada de Laplace y hemos
obtenido una ecuaci´on diferencial ordinaria en la variable x. La soluci´on
general de esta ecuaci´on diferencial es

x
L s, x a ψ 0,y ce cs λ L f s 1 y dy e cs λ L f s 1 x , (8.7)
ψ
0
en donde a es una constante. Evaluando en x 0 se obtiene que esta
constante es
1
a L s, 0 e su ψ u, 0 du e su du .
ψ
0 0 s
As´ı, la ecuaci´on (8.7) adquiere la forma

1 x
L s, x e cs λ L f s 1 x ψ 0,y ce cs λ L f s 1 x y dy. (8.8)
ψ s 0

Demostraremos que los dos t´erminos del lado derecho son tambi´en una trans-
formada de Laplace. Despu´es de algunos c´alculos pueden comprobarse los
siguientes resultados: