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8.3. Probabilidad de ruina con horizonte finito 211

Esto demuestra la segunda identidad. Para la tercera identidad usaremos
an´alisis del primer paso condicionando sobre el monto de la primera recla-
maci´on Y 1 y el momento T 1 en el que esta reclamaci´on ocurre. Usaremos
adem´as el hecho de que T 1 tiene distribuci´on exp λ .

ψ u, x P “No ruina en 0,x ” C 0 u

P “No ruina en 0,x ” Y 1 y, T 1 t dF y f T 1 t dt
0 0
x
P “No ruina en 0,x ” Y 1 y, T 1 t dF y f T 1 t dt
0 0
P “No ruina en 0,x ” Y 1 y, T 1 t dF y f T 1 t dt.
x 0

Observe que hemos separado dos casos: uno cuando la primera reclamaci´on
ocurre al tiempo t dentro del intervalo 0,x y el otro cuando ocurre despu´es
de x. En el primer caso la probabilidad del evento de inter´es es distinta de
cero cuando la reclamaci´on es menor o igual a u ct. En el segundo caso la
probabilidad del evento es uno. Por lo tanto,

x u ct
ψ u, x P “No ruina en 0,x ” Y 1 y, T 1 t dF y f T 1 t dt
0 0
t dt
dF y f T 1
x 0
x u ct
λe λt ψ u ct y, x t dF y dt P T 1 x .
0 0

Haciendo el cambio de variable s t u ct se obtiene

u cx s 1
ψ u, x e λu c λe λs c ψ s y, x s u c dF y ds e λx .
u 0 c

Derivando esta expresi´on respecto de u yrespecto de x puede verificarse el
cumplimiento de la ecuaci´on integro diferencial

λ u 1
ψ u, x ψ u, x ψ u y, x dF y ψ u, x . (8.6)
u c 0 λ x