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210 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Para la segunda identidad, suponiendo que el capital inicial u es cero, tene-
mos que

ψ 0,x P τ x
P C t 0
t x
P S t ct
t x

P S t ct S x y f S x y dy
0 t x

Puede demostrarse que

1
P S t ct S x y cx y .
cx
t x
Recordemos la notaci´on

x si x 0,
x
0 si x 0.
Por lo tanto,
1
ψ 0,x cx y f S x y dy
cx 0
1
E cx S x
cx
1
ydF cx S x y dy
cx 0
1 cx
ydF cx S x y dy.
cx 0
Aplicando integraci´on por partes,
1 cx cx
ψ 0,x yF cx S x y F cx S x y dy
cx
0 0
1 cx
cx P S x v dv
cx 0
1 cx
F S x v dv.
cx 0