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8.3. Probabilidad de ruina con horizonte finito 209
Proposici´on 8.3 (F´ormulas de Seal) Considere el proceso de riesgo de
Cram´er-Lundberg C t u ct S t , en donde S t N t Y j . Suponga que
j 1
las reclamaciones tienen distribuci´on absolutamente continua con funci´on
de densidad f y y defina la funci´on
f ˜ S t y e λt λt n f n y .
n 1 n!
Entonces
x
1. F S t x e λt f ˜ S t y dy, x 0.
0
1 cx
2. ψ 0,x F S x y dy.
cx 0
λ u 1
3. ψ u, x ψ u, x ψ u y, x dF y ψ u, x .
u c 0 λ x
x
4. ψ u, x F S x u cx c ψ 0,x y f ˜ S y u cy dy.
0
Demostraci´on. La primera identidad se obtiene condicionando sobre el
n´umero de reclamaciones: para cualquier x 0,
F S t x P S t x
P S t x N t n P N t n
n 0
λt n x
e λt e λt f n y dy.
n!
n 1 0
