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208 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

8.3. Probabilidad de ruina con horizonte finito

Dado un valor x 0 fijo, la probabilidad de ruina en el intervalo 0,x o
tambi´en llamada probabilidad de ruina con horizonte finito es

ψ u, x P τ x C 0 u ,

y corresponde a la funci´on de distribuci´on del tiempo de ruina. Es claro que
cuando 0 x 1 x 2 , se cumplen las desigualdades

ψ u, x 1 ψ u, x 2 ψ u .

Adem´as, cuando el horizonte x crece a infinito, en el l´ımite la probabilidad
con horizonte finito converge a la probabilidad con horizonte infinito, es
decir,
ψ u l´ım ψ u, x .
x

Mientras que cuando el capital inicial es infinito y como consecuencia del
resultado l´ım u ψ u 0, la probabilidad de ruina con horizonte finito
tambi´en es cero, es decir, para cualquier x 0,

l´ım ψ u, x l´ım ψ u 0.
u u

Nuevamente, usaremos la siguiente nomenclatura.

Notaci´on ψ u, x : 1 ψ u, x

Encontraremos a continuaci´on una ecuaci´on integral para la probabilidad
de ruina con horizonte finito. El an´alisis es m´as elaborado que en el caso
con horizonte infinito. A la f´ormula expl´ıcita para ψ 0,x que aparece en
la siguiente proposici´on y a la ecuaci´on integral para ψ u, x se les conoce
como f´ormulas de Seal.