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8.2. Probabilidad de ruina con horizonte infinito 207

Proposici´on 8.2 Para el modelo de de Cram´er-Lundberg y bajo la condi-
ci´on de ganancia neta,
l´ım ψ u 0.
u

Demostraci´on. Por la ley fuerte de los grandes n´umeros y la condici´on
de ganancia neta tenemos que

1 1 N t
l´ım C t l´ım u ct Y j
t t t t
j 1
1 N t
c l´ım Y j
t t
j 1
N t 1 N t
c l´ım l´ım Y j
t t t N t
j 1
c λµ 0.

Para el primer l´ımite hemos usado uno de los resultados que establece la
velocidad de crecimiento del proceso de Poisson, esto es, que N t t converge
casi seguramente al par´ametro λ cuando t . Para el segundo l´ımite
hemos usado una extensi´on del teorema central del l´ımite. De esta forma
concluimos nuevamente que la v.a. C t diverge a infinito casi seguramente
cuando t . En consecuencia, la variable´ınf t 0 C t est´a acotada por abajo
casi seguramente. Por lo tanto, tomando un capital inicial u suficientemente
grande, la cota inferior de ´ınf t 0 C t puede hacerse igual a cero, es decir,

´ınf C t 0.
t 0

Esto quiere decir que ψ u 0cuando u . !