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206 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

µ 1 α.Porla ecuaci´on (8.5),

λ αu u αy
ψ u ψ u e ψ y αe dy .
c 0

Derivando esta expresi´on y sustituy´endola nuevamente en la ecuaci´on en-
contrada se obtiene
λ
ψ u α ψ u ,
c

cuya soluci´on es ψ u a be α λ c u ,endonde a y b son constantes.
Usando las condiciones ψ 0 λ αc y ψ 0 se encuentra que a 1
y b λ αc .Porlo tanto,

λ α λ c u
ψ u e .
αc
La gr´afica de esta funci´on se encuentra en la Figura 8.2. Observe que debido
ala condici´on de ganancia neta,el exponente α λ c es negativo, y por
lo tanto la probabilidad de ruina decae a cero exponencialmente cuando el
capital inicial u crece a infinito.

ψ u
λ
αc

u

Figura 8.2

Demostraremos a continuaci´on que la probabilidad de ruina se anula cuando
el capital inicial es infinito. La t´ecnica de la demostraci´on es similar a la
presentada en el modelo de riesgo a tiempo discreto.