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8.2. Probabilidad de ruina con horizonte infinito 205

Por lo tanto,
λµ
ψ 0 1 ψ 0 . (8.4)
c
De esta forma se obtiene el segundo resultado. Finalmente de (8.3) y (8.4)
se sigue que

λ u
ψ u µ ψ u y F y dy
c 0
λ u
F y dy ψ u y F y dy .
c u 0

!

Observe que la ´ultima expresi´on corresponde a una ecuaci´on ´ıntegro diferen-
cial para la probabilidad de ruina. En general no es f´acil resolver este tipo de
ecuaciones, sin embargo, cuando las reclamaciones tienen distribuci´on expo-
nencial la ecuaci´on es soluble como se muestra en un ejemplo m´as adelante.
Para resolver la ecuaci´on observamos primero que mediante un cambio de
variable en la integral de la primera f´ormula de la Proposici´on 8.1 se obtiene

d λ u
ψ u ψ u ψ y f u y dy . (8.5)
du c 0

En el texto de Rolski et al. [32] se pueden encontrar los detalles de la de-
mostraci´on de la diferenciabilidad de la funci´on u ψ u , por simplicidad
hemos supuesto tal propiedad en nuestros argumentos. Por otro lado, en
el texto de Embrechts et al [14] puede encontrarse una argumentaci´on m´as
formal sobre la propiedad de renovaci´on del proceso de riesgo en los tiempos
aleatorios en los que ocurre una reclamaci´on. Esta propiedad fue utilizada
en la demostraci´on anterior y nos ayud´o a encontrar una ecuaci´on ´ıntegro
diferencial para la probabilidad de ruina.

Ejemplo 8.1 (Reclamaciones exponenciales) Encontraremos la proba-
´
bilidad de ruina cuando las reclamaciones son exponenciales. Este es uno
de los pocos modelos para los cuales tal probabilidad puede encontrarse de
manera expl´ıcita. Consideremos entonces el modelo de Cram´er-Lundberg
en donde las reclamaciones tienen distribuci´on exp α y cuya esperanza es