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204 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

desde el tiempo t en adelante pero con capital inicial u ct y,estoes
ψ u ct y . Haciendo el cambio de variable s t u ct en la ´ultima
ecuaci´on se obtiene

λ λu c λs c s
ψ u e e ψ s y dF y ds.
c u 0
A partir de esta f´ormula se puede verificar que la funci´on u ψ u es dife-
renciable. As´ı, derivando esta expresi´on se encuentra el resultado del primer
inciso. Demostraremos a continuaci´on el segundo resultado. Integrando la
ecuaci´on diferencial del primer inciso entre 0 y u se obtiene

λ u u x
ψ u ψ 0 ψ x dx ψ x y dF y dx
c 0 0 0
λ u u u
ψ x dx ψ x y dx dF y
c 0 0 y
λ u u u y
ψ x dx ψ x dx dF y
c 0 0 0
λ u u u x
ψ x dx ψ x dF y dx
c 0 0 0
λ u
ψ x F u x dx.
c 0

Haciendo el cambio de variable y u x se obtiene

λ u
ψ u ψ 0 ψ u y F y dy (8.3)
c 0
λ
ψ u y F y 1 y dy.
c 0 0,u

El siguiente paso es hacer u tender a infinito. En tal caso, ψ u tiende a
uno. Adem´as el integrando que aparece en el lado derecho es una funci´on
mon´otona creciente en u y cuyo l´ımite es la funci´on integrable F x .En-
tonces por el teorema de convergencia mon´otona se obtiene
λ λµ
1 ψ 0 F y dy .
c 0 c