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8.2. Probabilidad de ruina con horizonte infinito 203

Proposici´on 8.1 Suponga que la funci´on de distribuci´on F y de una
reclamaci´on en el modelo de Cram´er-Lundberg es continua. Entonces

d λ u
1. ψ u ψ u ψ u y dF y .
du c 0
λµ
2. ψ 0 .
c
λ u
3. ψ u F y dy ψ u y F y dy .
c u 0

Demostraci´on. Usaremos an´alisis del primer paso condicionando sobre
el monto de la primera reclamaci´on Y 1 y el momento T 1 en el que esta
reclamaci´on ocurre. Usaremos adem´as el hecho de que T 1 tiene distribuci´on
exp λ .

ψ u P “No ruina en 0, ” C 0 u

P “No ruina en 0, ” Y 1 y, T 1 t dF y f T 1 t dt
0 0
u ct
P “No ruina en 0, ” Y 1 y, T 1 t dF y f T 1 t dt
0 0
u ct
λe λt P “No ruina en t, ” Y 1 y, T 1 t dF y dt
0 0
u ct
λe λt ψ u ct y dF y dt.
0 0

En el an´alisis anterior hemos separado dos casos para el monto de la primera
reclamaci´on:
0,u ct u ct, .

Cuando el monto de esta primera reclamaci´on excede el capital u ct,
hay ruina y por lo tanto la probabilidad que no ruina es cero. Cuando
la reclamaci´on es menor o igual a u ct, no hay ruina y por lo tanto la
probabilidad de no ruina en 0, se reduce a la probabilidad de no ruina