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202 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

de ruina en el modelo de Cram´er-Lundberg. De manera an´aloga al modelo
de riesgo a tiempo discreto presentado en el cap´ıtulo anterior, denotaremos
a la probabilidad de ruina con horizonte infinito en el modelo de Cram´er-
Lundberg como ψ u ,es decir,

ψ u P τ C 0 u .

Y no habr´a ambig¨uedad en su definici´on pues el modelo o contexto en el que
se estudia determinar´a el caso correspondiente. Nuevamente escribiremos a
esta probabilidad como funci´on del capital inicial u, aunque en realidad
depende de todos los par´ametros del modelo. Y observamos adem´as, sin
proveer una demostraci´on, la monoton´ıa decreciente de esta funci´on, es decir,
si u 1 u 2 , entonces
ψ u 1 ψ u 2 .
Para deducir una ecuaci´on para la probabilidad de ruina ψ u tomaremos
como preliminarme cierto el hecho de que cuando el capital inicial es infinito
la probabilidad de ruina es cero, es decir,

ψ l´ım ψ u 0.
u

M´as adelante daremos una demostraci´on de este resultado y corroboraremos
su validez usando la desigualdad de Lundberg en el caso cuando el coefi-
ciente de ajuste existe. Como en el cap´ıtulo anterior, usaremos la siguiente
nomenclatura.

Notaci´on ψ u : 1 ψ u

8.2. Probabilidad de ruina con horizonte infinito

Presentaremos a continuaci´on tres resultados generales sobre la probabilidad
de ruina con horizonte infinito. A diferencia del primer cap´ıtulo, y para hacer
la notaci´on m´as apegada a la literatura existente en el tema, recordemos que
estamos denotando por F y a la funci´on de distribuci´on de una reclamaci´on
Y cualquiera. La funci´on de densidad ser´a f y , cuando ´esta exista.