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8.1. Modelo cl´ asico de Cram´ er-Lundberg 201

Ruina

La trayectoria promedio de este proceso de riesgo es la l´ınea recta que inicia
en u 0y tiene pendiente c λµ, la cual es positiva por la condici´on o
hip´otesis de ganancia neta. V´ease la Figura 8.1. Por razones naturales y
legales es importante que C t permanezca por arriba de cierto nivel m´ınimo.
Supongamos que tal nivel m´ınimo es a, con 0 a u. Ajustando el capital
inicial u, esto es, suponiendo un nuevo capital inicial de magnitud u a,se
puede suponer, sin p´erdida de generalidad, que este nivel m´ınimo es cero, y
as´ı lo haremos en nuestro an´alisis. De esta forma cuando C t 0 para alg´un
t 0 se dice que hay ruina.

Definici´on 8.2 Se dice que el proceso de riesgo se encuentra en ruina al
tiempo t 0 si

C t 0,
y se define el tiempo de ruina τ como el primer momento en que la ruina
se presenta, es decir,

τ ´ınf t 0: C t 0 . (8.2)

Nuevamente definiremos τ cuando el conjunto indicado en la expre-
si´on (8.2) es vac´ıo y corresponde a la situaci´on cuando la ruina nunca se
presenta. Observe que hemos definido ruina en el modelo a tiempo continuo
cuando ocurre el evento C t 0 ,a diferencia del evento C n 0 para
el modelo discreto estudiado en el cap´ıtulo anterior. La ruina casi nunca
sucede en la pr´actica, es solamente un t´ermino t´ecnico que produce alguna
toma de decisi´on. Por ejemplo, si el capital de una compa˜n´ıa aseguradora
asignado a una cartera decrece en forma significativa, autom´aticamente la
aseguradora puede tomar ciertas medidas para subsanar esta situaci´on y no
se trata de un evento insalvable. Por otro lado, es natural suponer que la
compa˜n´ıa aseguradora posea varios portafolios de modo que ruina en uno
de ellos no significa necesariamente bancarrota que el t´ermino ruina podr´ıa
sugerir.
En las siguientes secciones nos interesar´a calcular o estimar probabilidades