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8.1. Modelo cl´ asico de Cram´ er-Lundberg 199

process), o proceso de super´avit (surplus process), y tiene trayectorias como
se muestra en la Figura 8.1.

C t ω

E C t

u

t

Figura 8.1

Estas trayectorias comienzan siempre en el capital inicial u. Los intervalos
en donde estas trayectorias son continuas y crecientes corresponden a pe-
riodos en donde no hay reclamaciones. El crecimiento es de la forma ct.Las
discontinuidades son siempre saltos hacia abajo, y aparecen en el momento
en que se efect´ua una reclamaci´on, la cual supondremos que se paga de ma-
nera inmediata. El tama˜no de un salto es el tama˜no de la reclamaci´on dada
por la variable Y . Hemos supuesto que los montos Y 1 ,Y 2 ,... son variables
aleatorias independientes, positivas e id´enticamente distribuidas, y en al-
gunas ocasiones supondremos que tienen funci´on generadora de momentos
M Y r . Los momentos, cuando existan, se denotar´an nuevamente por

µ n E Y n , n 1.
En particular µ denotar´a el primer momento µ 1 . No es dif´ıcil comprobar
que

E C t u c λµ t,
Var C t λµ 2 t.

Usando la independencia de las reclamaciones en el proceso de riesgo y
la estacionariedad de los incrementos en el proceso de Poisson, puede de-
mostrarse que el proceso de riesgo C t : t 0 tiene incrementos indepen-
dientes y estacionarios.