Page 208 - riesgo2012

198 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Ernest Filip Oskar Lundberg Carl Harald Cram´er
(Suecia, 1876–1965) (Suecia, 1893–1985)

Definici´on 8.1 El modelo cl´asico de Cram´er-Lundberg es el proceso es-
toc´astico a tiempo continuo C t : t 0 dado por

N t
C t u ct Y j , (8.1)
j 1

en donde u y c son constantes positivas, Y 1 ,Y 2 ,... es una sucesi´on de
v.a.i.i.d. positivas e independientes del proceso de Poisson N t : t 0
de par´ametro λ.

La constante u representa el capital inicial de la compa˜n´ıa aseguradora, ct
corresponde a la entrada por primas hasta el tiempo t, Y j es el monto de la
j-´esima reclamaci´on, y el proceso de Poisson N t : t 0 modela la forma
en la que las reclamaciones son recibidas. Observe que para unproceso de
reclamaciones con distribuci´on Poisson compuesta como en la ecuaci´on (8.1),
la esperanza es justamente de la forma ct, y el principio del valor esperado
para el c´alculo de primas lleva a que el proceso de primas sea lineal como
el sugerido en el modelo. La variable C t representa el balance m´as sencillo
de ingresos menos egresos a tiempo continuo de una compa˜n´ıa aseguradora.
Al proceso C t : t 0 se le llama nuevamente proceso de riesgo (risk