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190 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Apartir de lasf´ormulas que aparecen en la Proposici´on 7.6 y usando in-
ducci´on sobre el par´ametro u puede demostrarse que

1 p u 1
ϕ u, z 1 1 p z 1 .
p

Al hacer z tender a infinito obtenemos las probabilidades de ruina con hori-
zonte infinito cuando las reclamaciones son geom´etricas. Estas probabilida-
des aparecen en el Ejemplo 7.3.

1 p u 1
l´ım ϕ u, z ψ u .
z p

En el siguiente cap´ıtulo estudiaremos un modelo de riesgo a tiempo continuo
muy similar al que hemos estudiado hasta ahora. Algunos de los conceptos,
notaci´on, t´ecnicas y definiciones que hemos utilizado ser´an extendidas al
caso cuando el tiempo se mide de manera continua.

Comentarios y referencias

En el presente cap´ıtulo hemos estudiado el problema de la ruina en el proce-
so de riesgo a tiempo discreto no trivial m´as sencillo posible. El modelo que
hemos estudiado puede plantearse con caracter´ısticas m´as generales, pero al
considerar el modelo elemental estudiado, nuestro objetivo ha sido mostrar
el tipo de problemas matem´aticos que pueden plantearse y en algunos casos
mostrar las respuestas que se obtienen en casos particulares. En la respuesta
general a estos problemas hemos encontrado varias f´ormulas recursivas que
invitan a su implementaci´on en computadora. En algunos casos las probabi-
lidades involucradas pueden tomar valores muy cercanos a cero y ello podr´ıa
provocar problemas num´ericos. Debe entonces tenerse cuidado al programar
estas f´ormulas en una computadora. El material expuesto en este cap´ıtulo
est´a basado en el cap´ıtulo introductorio a la teor´ıa de la ruina del texto de
Dickson [13]. Otras referencias en el tema son [7] y [23]. El lector interesado
en el estudio m´as profundo sobre los modelos de riesgo a tiempo discreto
puede consultar art´ıculos de investigaci´on panor´amicos como [24].