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186 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Proposici´on 7.6 Para el proceso de riesgo a tiempo discreto C n : n 0
con capital inicial u 0 ytiempo de ruina τ,lafunci´on

ϕ u, z P τ , C τ z ,

para z 0, 1,...,satisface las siguientes identidades:

u 1 z
1. ϕ u, z ϕ 0,z ϕ u y, z F y F u y F y .
y 0 y 0
z
2. ϕ 0,z F y .
y 0

Demostraci´on. Condicionando sobre el monto de la primera reclamaci´on,

ϕ u, z P τ ,C τ z Y 1 y f y
y 0
u u z 1
ϕ u 1 y, z f y f y .
y 0 y u 1
Cuando el monto y toma un valor entre cero y u, no hay ruina, pues al
tiempo uno el capital de la aseguradora se ha incrementado a u 1, por
la propiedad de incrementos independientes del proceso, la probabilidad
condicional se reduce a ϕ u 1 y, z . Si el monto y est´a entre u 1y
u z 1, entonces hay ruina y se cumple la condici´on C τ z, por lo
tanto la probabilidad condicional es id´enticamente uno. Finalmente, si y es
mayor a u z 1, hay ruina y la ruina es severa en el sentido de que no se
cumple la condici´on C τ z, en este caso la probabilidad condicional es
cero y es por ello que no aparece en la ´ultima igualdad. La ´ultima ecuaci´on
puede escribirse de la siguiente forma:

u 1
ϕ u, z ϕ y, z f u 1 y F u z 1 F u . (7.10)
y 1