Page 199 - riesgo2012

7.6. Severidad de la ruina 189

a infinito la primera suma se anula y la segunda suma, como hemos visto,
puede hacerse tan peque˜na como se desee. !

Es interesante observar que cuando z , es decir, cuando no hay cota para
la severidad de la ruina, la probabilidad ϕ u, z converge a la probabilidad de
ruina ψ u y las ecuaciones de la Proposici´on 7.6 se reducen a las estudiadas
antes en la Proposici´on 7.1.
Por otro lado, incorporando la expresi´on de ϕ 0,z en la f´ormula recursi-
va para ϕ u, z y haciendo algunas simplificaciones, puede encontrarse la
siguiente expresi´on alternativa
u 1 z
ϕ u, z ϕ u y, z F y F u y .
y 0 y 0
Comparando esta expresi´on con la f´ormula para ψ u dada por la ecua-
ci´on (7.8) de la p´agina 171 podemos escribir la diferencia entre ψ u y
ϕ u, z de la siguiente forma:
u 1
ψ u ϕ u, z ψ u y ϕ u y, z F y F y .
y 0 y u z 1
Pero observemos que
ψ u ϕ u, z P τ P τ , C τ z
P τ , C τ z .

Por lo tanto hemos demostrado que la funci´on

ϕ 1 u, z P τ , C τ z
satisface la ecuaci´on recursiva
u 1
ϕ 1 u, z ϕ 1 u y, z F y F y .
y 0 y u z 1
Ejemplo 7.8 (Reclamaciones geom´etricas) Considere el modelo de ries-
go a tiempo discreto en donde las reclamaciones tienen distribuci´on geo p ,
es decir, la correspondiente funci´on de probabilidad es

f y 1 p y p, y 0, 1, 2,...