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194 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

165. Sea k 2 un entero fijo. Considere el modelo de riesgo a tiempo
discreto en donde las reclamaciones tienen funci´on de probabilidad

f 0 1 p,
f k p.

Suponga que p 1 k. Con esta hip´otesis se cumple la condici´on
de ganancia neta E Y 1. Demuestre que el coeficiente de ajuste
es R ln x, en donde x es la ´unica soluci´on mayor a uno de la
ecuaci´on
px k 1 px k 2 p 1 0.

166. Para el proceso de riesgo a tiempo discreto C n : n 0 con capital
inicial u 0 y suponiendo que el coeficiente de ajuste R existe,
demuestre que para cualquier n 0,

E e RC n e Ru .

Desigualdad de Lundberg

167. Considere los datos del modelo que aparece en el Ejemplo 7.1, en
donde se calcularon expl´ıcitamente las probabilidades ψ u para
u 0, 1,... , 11. Demuestre que el coeficiente de ajuste es

R ln 10 6 0.5108256238 .
Para los valores de u indicados, verifique que efectivamente se cumple
la desigualdad de Lundberg ψ u e Ru .Elusodeunahojade
c´alculo podr´ıa ser ´util para realizar estas verificaciones.

Severidad de la ruina

168. Propiedades. A partir de la definici´on de la funci´on ϕ u, z de-
muestre que:

a) u ϕ u, z es decreciente.
b) z ϕ u, z es creciente.