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7.6. Severidad de la ruina 187

Escribiendo k en lugar de u y sumando estas expresiones para valores k de
0a u se obtiene

u u k 1 u
ϕ k, z ϕ y, z f k 1 y F k z 1 F k
k 0 k 0 y 1 k 0
u 1 u u
ϕ y, z f k 1 y F k z 1 F k
y 1 k y 1 k 0
u 1 u
ϕ y, z F u 1 y F k z 1 F k
y 1 k 0

Despejando el t´ermino ϕ u 1,z ,

u u
ϕ u 1,z F 0 ϕ k, z ϕ y, z F u 1 y
k 0 y 1
u
F k z 1 F k
k 0
u
ϕ 0,z ϕ y, z 1 F u 1 y
y 1
u
F k z 1 F k . (7.11)
k 0
Por otro lado, de la ecuaci´on (7.10) se obtiene

u
ϕ u 1,z F 0 ϕ u, z ϕ y, z f u 1 y F u z 1 F u .
y 1
(7.12)
Igualando el lado derecho de las ecuaciones (7.11) y (7.12),

u u 1
ϕ u, z ϕ 0,z ϕ y, z F u y F k z 1 F k .
y 1 k 0