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188 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

La segunda suma puede expresarse de la siguiente forma:

u 1 u 1 z
F k z 1 F k F k y 1 F k y
k 0 k 0 y 0
z u 1
F k y 1 F k y
y 0 k 0
z
F u y F y .
y 0
Por lo tanto,

u z
ϕ u, z ϕ 0,z ϕ y, z F u y F u y F y . (7.13)
y 1 y 0

Haciendo un cambio de variable en la primera suma se obtiene la primera
f´ormula de la proposici´on. Para obtener la segunda f´ormula hacemos u ten-
der a infinito en la expresi´on reci´en encontrada (7.13). As´ı, tenemos que

0 l´ım ϕ u, z
u
u z
ϕ 0,z l´ım ϕ y, z F u y 1 F y .
u
y 1 y 0
Resta demostrar que el ´ultimo l´ımite indicado es cero. Tenemos que

u u 1
ϕ y, z F u y ϕ u v, z F v
y 1 v 0

ϕ u v, z F v
v 0
n
ϕ u v, z F v ,
v 0 v n 1
en donde n es cualquier entero tal que F v ϵ, para cualquier
v n 1
ϵ 0. Ello es posible pues E Y F v . As´ı, al hacer u tender
v 0