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192 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Demuestre que:

u 1
p
a) ψ u k u ψ u y para 1 u k.
1 p
y 1
k 1
p
b) ψ u ψ u y para u k.
1 p
y 1
159. A partir de la f´ormula recursiva para la probabilidad de ruina ψ u
en el proceso de riesgo a tiempo discreto que aparece en el enunciado
de la Proposici´on 7.1, demuestre que:

a) ψ u 1 ψ u .

b) l´ım ψ u 0.
u

160. Hemos demostrado que la funci´on u ψ u satisface la ecuaci´on
recursiva dada en la Proposici´on 7.1. Demuestre que esta ecuaci´on
recursiva tiene una ´unica soluci´on. Sugerencia: suponga que ψ 1 u y
ψ 2 u son dos funciones que cumplen las propiedades que se enun-
cian en la Proposici´on 7.1. Use inducci´on sobre u para demostrar
que ψ 1 u ψ 2 u 0, u 0.

Probabilidad de ruina con horizonte finito

161. Calcule la probabilidad de ruina con horizonte finito ψ u, n para
u 1y n 1, 2, 3, 4, 5en el modelo de riesgo a tiempo discre-
to, cuando las reclamaciones tienen la distribuci´on de probabilidad
dada por la siguiente tabla.

y 0 1 2
f y 4/10 5/10 1/10