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184 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Las probabilidades de ruina con horizonte finito tambi´en tienen la misma
cota superior, pues para cualquier n 1,

ψ u, n ψ u e Ru .

!

Ejemplo 7.7 (Problema de la ruina del jugador, continuaci´on) En
el Ejemplo 7.2 hemos calculado la probabilidad exacta de ruina para el mo-
delo de riesgo cuando las reclamaciones son tales que P Y 0 p y
P Y 2 1 p,con 2 1 p 1.Estaprobabilidad es,para u 1,

1 p u
ψ u .
p

Por otro lado, en el Ejemplo 7.6 hemos encontrado que el coeficiente de
ajuste en este caso es
p
R ln .
1 p
Podemos entonces comparar ψ u con la cota de Lundberg e Ru .Despu´es de
algunos c´alculos sencillos puede comprobarse que estas cantidades coinciden,
es decir,
ψ u e Ru , u 1.
Esto demuestra que sin ninguna otra condici´on adicional, lacotasuperior
de Lundberg es ´optima.

7.6. Severidad de la ruina

Consideremos nuevamente el proceso de riesgo a tiempo discreto C n : n
0 con capital inicial u 0. Sea τ el tiempo de ruina en este modelo y defina
la probabilidad
ϕ u, z P τ , C τ z ,

para u 0, 1, 2,... y z 0, 1, 2,... Observe que para hacer la escritura m´as
corta, hemos omitido escribir esta expresi´on como una probabilidad condi-
cional cuando C 0 u. Esta funci´on representa la probabilidad conjunta de