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7.5. Desigualdad de Lundberg 183

de este proceso tiene esperanza finita. En efecto, no es dif´ıcil comprobar que

E e RC n e Ru .

Por otro lado, para cualquier n 0,

E e RC n 1 F n E e R C n 1 Y n 1 F n
e RC n E e R Y 1
e RC n .

En la segunda igualdad hemos usado la hip´otesis de independencia de las
reclamaciones y para la ´ultima igualdad se us´o la definici´on de coeficiente
de ajuste. !

Demostraci´on. (Desigualdad de Lundberg, segunda demostraci´on). Sea τ
el tiempo de paro definido como el momento de la ruina en el proceso de
riesgo a tiempo discreto. Como C n : n 0 es una martingala, tambi´en lo
es C n τ : n 0 . Recordemos que x y m´ın x, y . Ambas martingalas
comienzan en el valor e Ru . Entonces para cualquier n 1,

e Ru e RC 0
E e RC n τ
E e RC n τ τ n P τ n
E e RC n τ τ n P τ n
E e RC n τ τ n P τ n
E e RC τ τ n P τ n .

Haciendo n mon´otonamente puede demostrarse que el evento τ n
converge crecientemente al evento τ y que la esperanza condicional
indicada converge a E e RC τ τ . Por lo tanto,

e Ru E e RC τ τ P τ
E 1 τ P τ
P τ
ψ u .