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182 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

general de la Proposici´on 7.3,
u
ψ u, n 1 ψ u, 1 ψ u 1 y, n f y
y 0
u
f y e R u 1 y f y
y u 1 y 0
u
e R u 1 y f y e R u 1 y f y
y u 1 y 0
e R u 1 y f y
y 0

e Ru e R y 1 f y
y 0
e Ru .
!

En el caso cuando el coeficiente de ajuste existe, es una consecuencia in-
mediata de la desigualdad de Lundberg que las probabilidades de ruina se
anulan cuando el capital inicial tiende a infinito, es decir,
l´ım ψ u l´ım ψ u, n 0.
u u
Con ayuda del siguiente resultado daremos una demostraci´on alternativa de
la desigualdad de Lundberg, esta vez usando la teor´ıa de martingalas.

Proposici´on 7.5 Sea C n : n 0 el proceso de riesgo a tiempo discreto.
Suponga que el coeficiente de ajuste R existe. Entonces el proceso abajo
especificado es una martingala a tiempo discreto.

e RC n : n 0 .

Demostraci´on. Sea F n n 0 la filtraci´on natural del proceso e RC n :
n 0 . La existencia del coeficiente de ajuste garantiza que cada variable