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7.5. Desigualdad de Lundberg 181

Proposici´on 7.4 (Desigualdad de Lundberg) Para el proceso de ries-
go a tiempo discreto C n : n 0 con capital inicial u 0 ycuando
el coeficiente de ajuste R existe, las probabilidades de ruina con horizonte
finito e infinito satisfacen las siguientes desigualdades:

1. ψ u, n e Ru , n 1.

2. ψ u e Ru .

Demostraci´on. Primeramente observamos que el segundo resultado es
consecuencia del primero, pues

ψ u l´ım ψ u, n l´ım e Ru e Ru .
n n
Para demostrar el primer resultado usaremos el m´etodo de inducci´on sobre el
par´ametro n. Para n 1 tenemos que, por la Proposici´on 7.3 y la existencia
del coeficiente de ajuste R,

ψ u, 1 F u

f y
y u 1

e R u 1 y f y
y u 1

e R u 1 y f y
y 0

e Ru e R y 1 f y
y 0
e Ru .

En la pen´ultima igualdad la suma indicada vale 1, pues ´esa es justamente la
definici´on de coeficiente de ajuste. Supongamos ahora que ψ u, n e Ru
para alg´un valor entero fijo n 1. Entonces, nuevamente por la f´ormula