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180 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

condici´on F 1 1 es la distribuci´on Ber p de par´ametro 0 p 1. En
conclusi´on, exceptuando esta distribuci´on, se puede garantizar la existencia
del coeficiente de ajuste para cualquier distribuci´on de probabilidad sobre
el conjunto 0, 1, 2,... con funci´on generadora de momentos finita y con
esperanza menor a 1.
En general no es sencillo resolver la ecuaci´on (7.9) para encontrar el coefi-
ciente de ajuste. En una situaci´on particular, a menudo es necesario usar
alg´un procedimiento num´erico como el m´etodo de Newton-Raphson para
aproximar el valor de este coeficiente. En el ap´endice el lector puede en-
contrar una breve descripci´on del m´etodo de Newton-Raphson. El siguiente
ejemplo es at´ıpico, pues se puede encontrar el coeficiente de ajuste con fa-
cilidad.

Ejemplo 7.6 (Problema de la ruina del jugador, continuaci´on) Con-
sidere nuevamente la distribuci´on de probabilidad para lasreclamaciones
como en el Ejemplo 7.2 del problema de la ruina del jugador:

P Y 0 p,
P Y 2 1 p,

en donde 1 2 p 1. El coeficiente de ajuste en este caso se calcula como
la soluci´on positiva r de la ecuaci´on

E e r Y 1 pe r 1 p e r 1.

Esto equivale a resolver una ecuaci´on cuadr´atica, cuyas soluciones son

0,
r p
ln .
1 p
As´ı, el coeficiente de ajuste es R ln p .
1 p

7.5. Desigualdad de Lundberg

Demostraremos a continuaci´on que es posible encontrar una cota superior
para las probabilidades de ruina en el modelo de riesgo a tiempo discreto.
Tal cota superior est´a dada en t´erminos del coeficiente de ajuste.