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178 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Definici´on 7.3 (Coeficiente de ajuste) Suponga que la funci´on genera-
dora de momentos de las reclamaciones Y en el proceso de riesgo a tiempo
discreto C n : n 0 existe y que E Y 1. El coeficiente de ajuste para
este proceso de riesgo se define como la ´unica soluci´on positiva r de la
ecuaci´on
E e r Y 1 1. (7.9)
Atal soluci´on positiva se le denota por R.

Expl´ıcitamente el coeficiente de ajuste es aquel n´umero positivo r tal que

e r y 1 f y 1.
y 0
Para justificar que esta ecuaci´on tiene efectivamente una ´unica soluci´on
positiva se define la funci´on

θ r E e r Y 1

y se comprueba que θ r cumple las siguientes propiedades:

a) θ r 0 para r 0.

b) θ 0 1.

c) θ r E Y 1 e r Y 1 .
2 r Y
d) θ r E Y 1 e 1 .
e) l´ım θ r ,cuando F 1 1.
r

As´ı, el comportamiento de θ r alrededor de cero es el siguiente: toma el
valor 1 en r 0, la derivada por la derecha en r 0es θ 0 E Y 1 ,que
resulta ser negativa por la hip´otesis de ganancia neta E Y 1. La segunda
derivada en cero es θ 0 E Y 1 2 0. Finalmente, si F 1 1
entonces θ r crece a infinito cuando r . Esta afirmaci´on se verifica
m´as abajo. Todas estas observaciones acerca de la funci´on θ r demuestran