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176 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Demostraci´on.
Para n 1,

ψ u, 1 P τ 1 P u 1 Y 1 0 P Y 1 u 1 F u .

Para n 2, condicionando sobre el valor de la primera reclamaci´on,

ψ u, n P τ n

P τ n Y 1 y P Y 1 y
y 0
u
ψ u 1 y, n 1 f y f y
y 0 y u 1
u
ψ u 1 y, n 1 f y F u .
y 0
!

Ejemplo 7.4 Consideremos nuevamente el caso cuando los montos Y tienen
distribuci´on dada por la tabla que aparece abajo. Usando la f´ormula recursiva
de la Proposici´on 7.3 encontraremos ψ u, n ,cuando u 0 y n 1, 2, 3, 4, 5.

y 0 1 2
f y 0.5 0.2 0.3

Para n 1 tenemos que ψ 0, 1 F 0 0.5.Para n 2,laf´ormula
recursiva lleva a la ecuaci´on ψ 0, 2 ψ 0, 1 ψ 1, 1 f 0 , usando el he-
cho de que ψ 1, 1 0.3 se obtiene ψ 0, 2 0.65.Para n 3,se tiene
que ψ 0, 3 ψ 0, 1 ψ 1, 2 f 0 ,en donde ψ 1, 2 se calcula usando la
misma f´ormula recursiva. Al hacer los c´alculos se obtiene ψ 0, 3 0.68.
An´alogamente y utilizando repetidamente la f´ormula recursiva se obtienen
las probabilidades de ruina restantes que se muestran en la siguiente tabla.

n 1 2 3 4 5
ψ 0,n 0.5 0.65 0.68 0.7085 0.7232