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7.3. Probabilidad de ruina con horizonte finito 175

Esto quiere decir que ψ u 0cuando u . !

7.3. Probabilidad de ruina con horizonte finito

La probabilidad de ruina con horizonte finito n 1 se define como

ψ u, n P τ n C 0 u
P τ 1, 2,... ,n C 0 u ,
y corresponde a la probabilidad de que la ruina se presente en alguno de
los tiempos: 1, 2,... ,n. Puesto que siempre estaremos en el caso C 0 u,
se omitir´a esta condici´on y la probabilidad de ruina con horizonte finito se
puede escribir simplemente como P τ n . Observe entonces que ψ u, n es
la funci´on de distribuci´on del tiempo de ruina τ evaluada en el valor entero
n. Naturalmente estamos interesados en conocer esta funci´on. A partir de
observar la contenci´on de los eventos correspondientes se puede verificar que

ψ u, 1 ψ u, 2 ψ u, n ψ u .
En particular cuando el capital tiende a infinito esta probabilidad de ruina
tambi´en se anula, es decir, para cualquier n 1 fijo,
l´ım ψ u, n l´ım ψ u 0.
u u
Condicionando sobre el monto de la primera reclamaci´on tal como se hizo en
el caso de horizonte infinito, mostramos a continuaci´on una forma recursiva
de encontrar ψ u, n .

Proposici´on 7.3 Para el proceso de riesgo a tiempo discreto C n : n 0
con valor inicial u 0, la probabilidad de ruina con horizonte finito ψ u, n
puede calcularse de la siguiente forma

1. ψ u, 1 F u .
u
2. ψ u, n F u ψ u 1 y, n 1 f y , n 2.
y 0