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174 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Apartir de las f´ormulas que aparecen en la Proposici´on 7.1 pueden en-
contrarse los valores de ψ u de manera sucesiva para u 0, 1, 2,....M´as
formalmente, usando inducci´on sobre el par´ametro u puede demostrarse que
para cualquier capital inicial u 0 ypara cualquier p 1 2,

1 p u 1
ψ u .
p
Concluimos esta secci´on mostrando el comportamiento l´ımite de la proba-
bilidad de ruina cuando el capital inicial crece a infinito. La demostraci´on
de este resultado se basa en el an´alisis presentado antes para justificar la
hip´otesis de ganancia neta en la secci´on introductoria sobre los principios
para el c´alculo de primas.

Proposici´on 7.2 Para el modelo de riesgo a tiempo discreto y bajo la
condici´on de ganancia neta,

l´ım ψ u 0.
u

Demostraci´on. Por la ley fuerte de los grandes n´umeros y la condici´on
de ganancia neta tenemos que
n
1 1
l´ım C n l´ım u n Y j
n n n n
j 1
n
1
1 l´ım Y j
n n
j 1
1 E Y 0.
As´ı, este comportamiento l´ımite implica forzosamente la v.a. C n diverge
a infinito casi seguramente cuando n . En consecuencia, la variable
´ınf n 0 C n est´a acotada por abajo casi seguramente. Por lo tanto, tomando
un capital inicial u suficientemente grande, la cota inferior de ´ınf n 0 C n
puede hacerse igual a cero, es decir,

´ınf C n 0.
n 0