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7.2. Probabilidad de ruina con horizonte infinito 173

Por otro lado, la funci´on F y es:

F 0 1 p,
F 1 1 p,
F y 0 para y 2,

y entonces, para u 1 se tiene que

ψ 1 ψ 0 ψ 1 F 0 F 0 .
De donde se obtiene
1 p
ψ 1 .
p
Para u 2 se obtiene la ecuaci´on
ψ 2 ψ 0 ψ 2 F 0 ψ 1 F 1 F 0 F 1 ,

que produce la soluci´on
1 p 2
ψ 2 .
p
Usando inducci´on sobre u,se puede demostrar que paracualquier capital
inicial u 1,
1 p u
ψ u .
p
Esta es la probabilidad de ruina del jugador A (compa˜n´ıa aseguradora) cuan-
do su capital inicial es u yes una versi´on particular de la soluci´on alpro-
blema de la ruina del jugador, v´ease por ejemplo [31]. Se observa que esta
probabilidad converge a cero cuando u tiende a infinito.

En general, dada una distribuci´on de probabilidad particular para las recla-
maciones, la f´ormula recursiva para la probabilidad de ruina de la Proposi-
ci´on 7.1 no produce expresiones compactas. El siguiente es uno de los pocos
ejemplos en los que la probabilidad de ruina tiene una f´ormula muy corta.

Ejemplo 7.3 (Reclamaciones geom´etricas) Considere el modelo de
riesgo a tiempo discreto en donde las reclamaciones tienen distribuci´on
geo p ,es decir, la funci´on de probabilidad es

f y 1 p y p, y 0, 1, 2,...