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7.2. Probabilidad de ruina con horizonte infinito 171

Por otro lado, recordando nuevamente que Y es una variable aleatoria con
valores enteros en el conjunto 0, 1,... y con esperanza finita, se puede
escribir
E Y F y .
y 0
De modo que uniendo los dos resultados de la Proposici´on 7.1 y despu´es
de un cambio de variable se encuentra que la f´ormula recursiva para ψ u
tambi´en puede ser escrita de la forma siguiente:

u 1
ψ u ψ u y F y F y , u 1. (7.8)
y 0 y u
En el siguiente cap´ıtulo encontraremos una f´ormula similar a (7.8) para la
probabilidad de ruina considerando un modelo de riesgo a tiempo continuo.

Ejemplo 7.1 Suponga que las reclamaciones Y tienen distribuci´on dada
por la tabla que aparece abajo. Usando la f´ormula recursiva de la Proposi-
ci´on 7.1, encontraremos ψ u para los primeros valores de u.

y 0 1 2
f y 0.5 0.2 0.3

Primeramente tenemos que ψ 0 E Y 0.8 1.Para u 1 la f´ormula
recursiva establece que ψ 1 ψ 1 F 0 F 1 .Sustituyendo las probabi-
lidades correspondientes se obtiene ψ 1 0.6.Para u 2 se tiene que
ψ 2 ψ 1 F 1 ψ 2 F 0 ,de donde se obtiene ψ 2 0.36.An´aloga-
mente se obtienen las probabilidades de ruina que se muestranenlas si-
guientes tablas.

u ψ u u ψ u
0 0.8 6 0.046656
1 0.6 7 0.0279936
2 0.36 8 0.01679616
3 0.216 9 0.010077696
4 0.1296 10 0.006046618
5 0.07776 11 0.0036279708