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172 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

ψ u
1.0

0.8

0.6
0.4

0.2

u
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 7.2

En la Figura 7.2 se muestra una gr´afica de barras de los valores encontrados
de ψ u .Comoerade esperarse, se observa un comportamiento decreciente
de la probabilidad de ruina conforme el capital inicial se incrementa.

Ejemplo 7.2 (Problema de la ruina del jugador) Considere el proceso
de riesgo a tiempo discreto C n : n 0 en donde las reclamaciones tienen
la siguiente distribuci´on de probabilidad:

P Y 0 p,
P Y 2 1 p,

en donde 1 2 p 1.Deesta formaalt´erminode cada periodo elproceso
se incrementa en una unidad cuando Y 0,o se reduce en una unidad
cuando Y 2.La condici´on que hemos mencionado para el valor de p
garantiza que se cumple la condici´on de ganancia neta E Y 2 1 p 1.
La variable C n representa entonces el capital de un jugador A que apuesta
una unidad monetaria en cada unidad de tiempo, su capital inicial es u y
el jugador contrario B puede considerarse que tiene capital infinito. Encon-
traremos la probabilidad de que el jugador A (i.e. la compa˜n´ıa aseguradora)
eventualmente se arruine. Por los resultados de la Proposici´on 7.1,

ψ 0 E Y 2 1 p 1.