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170 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Esto demuestra la primera parte de la proposici´on. Resta entonces demostrar
que ψ 0 E Y . Para ello tomaremos el l´ımite cuando u en la
ecuaci´on (7.6). Tenemos entonces que
u 1
0 l´ım ψ u ψ 0 l´ım ψ u y F y F y .
u u
y 0 y 0
Observamos que la segunda suma es E Y , de modo que es suficiente de-
mostrar que el l´ımite de la primera suma es cero. Como E Y , para
cualquier ϵ 0 puede encontrarse un valor de n natural tal que

F y ϵ.
y n 1
Entonces
u 1
ψ u y F y ψ u y F y
y 0 y 0
n
ψ u y F y .
y 0 y n 1
Por lo tanto al tomar el l´ımite cuando u obtenemos que
u 1
l´ım ψ u y F y ϵ.
u
y 0
Siendo ϵ arbitrario, el l´ımite es efectivamente cero. !

En analog´ıa con la notaci´on F y 1 F y , la expresi´on ψ u denotar´a la
probabilidad 1 ψ u , esto representa la probabilidad de que la ruina nunca
se presente.

Notaci´on ψ u : 1 ψ u

Usando esta nomenclatura, la ecuaci´on recursiva para ψ u tambi´en puede
ser escrita como sigue

u 1
ψ u ψ 0 ψ u y F y , u 1. (7.7)
y 0