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7.2. Probabilidad de ruina con horizonte infinito 169

suma (7.3) y escribiendo u en lugar de w se obtiene

u
ψ u 1 f 0 ψ u ψ y f u 1 y F u . (7.4)
y 1

Sumando ahora las ecuaciones de (7.3) para valores de w de cero a cualquier
u 0, se tiene que
u u w 1 u
ψ w ψ y f w 1 y F w
w 0 w 0 y 1 w 0
u 1 u u
ψ y f w 1 y F w
y 1 w y 1 w 0
u 1 u
ψ y F u 1 y F w
y 1 w 0
u u
ψ u 1 f 0 ψ y F u 1 y F w
y 1 w 0

Para obtener la ´ultima identidad se separa el ´ultimo sumando de la primera
suma y se observa que F 0 f 0 . Despejando este t´ermino se obtiene

u u
ψ u 1 f 0 ψ 0 ψ y 1 F u 1 y F y . (7.5)
y 1 y 0

Igualando el lado derecho de esta ecuaci´on con el lado derecho de la ecuaci´on (7.4)
se obtiene

u u 1
ψ u ψ 0 ψ y 1 F u 1 y f u 1 y F y
y 1 y 0
u u 1
ψ 0 ψ y F u y F y
y 1 y 0
u 1 u 1
ψ 0 ψ u y F y F y . (7.6)
y 0 y 0