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168 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Proposici´on 7.1 Para el proceso de riesgo a tiempo discreto C n : n 0
con valor inicial u 0,

u 1 u 1
1. ψ u ψ 0 ψ u y F y F y , u 1.
y 0 y 0
2. ψ 0 E Y .

Demostraci´on. Para cualquier capital inicial w 0 y condicionando
sobre el valor de Y 1 tenemos los siguientes c´alculos, los cuales explicaremos
en el siguiente p´arrafo.

ψ w P τ Y 1 y P Y 1 y
y 0
w
P τ Y 1 y f y P τ Y 1 y f y
y 0 y w 1
w
ψ w 1 y f y f y
y 0 y w 1
w 1
ψ y f w 1 y F w . (7.3)
y 1

Observe que en la segunda igualdad se han separado dos casos: la primera
suma se refiere al caso cuando el monto reclamado Y 1 no produce ruina y la
segunda suma cuando se presenta la ruina. En el segundo caso la probabili-
dad condicional indicada es 1. En el primer caso la probabilidad condicional
se reduce a la probabilidad ψ w 1 y , pues siendo la primera reclamaci´on
de magnitud y y no habiendo ruina en esta primera reclamaci´on, la probabi-
lidad condicional original se reduce a la probabilidad de quenosepresente
la ruina desde el momento de la primera reclamaci´on en adelante pero ahora
con capital inicial w 1 y. Por la propiedad de incrementos independien-
tes, esta probabilidad es ψ w 1 y . Despejando el ´ultimo t´ermino de la