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166 7. Teor´ ıa de la ruina: tiempo discreto

Definici´on 7.2 Se dice que la compa˜n´ıa aseguradora se encuentra en ruina
al tiempo n 1 si
C n 0,
y se define el tiempo de ruina τ como el primer momento en que la ruina
se presenta, es decir,

τ m´ın n 1: C n 0 . (7.2)

En la expresi´on (7.2) se debe entender que cuando el conjunto indicado es
vac´ıo se define τ , y equivale a la situaci´on cuando la ruina nunca se
presenta. El problema de la ruina consiste en encontrar la probabilidad de
que la ruina ocurra en alg´un conjunto de tiempos espec´ıfico. Por ejemplo,
la probabilidad ruina con horizonte infinito es P τ y se denota usual-
mente por ψ u . Con esta notaci´on se hace ´enfasis en que tal probabilidad
depende, entre otros par´ametros del modelo, particularmente del capital
inicial u. Tenemos entonces que
ψ u P τ C 0 u

P τ 1, 2,... C 0 u .
Observe que t´ecnicamente no hay ruina al tiempo cero, aun cuando se con-
sidere al capital inicial u igual a cero, pues de acuerdo con la Definici´on 7.2,
la ruina s´olo puede ocurrir en los tiempos n 1. Intuitivamente es claro que
la funci´on u ψ u es decreciente, es decir, a mayor capital inicial menor
probabilidad de ruina. Esta propiedad puede escribirse de la siguiente forma:
para cualquier u 0,
ψ u 1 ψ u .
En la Figura 7.1 se muestra una posible trayectoria del proceso C n : n 0 ,
en donde para fines de visualizaci´on se han unido los valores del proceso
mediante l´ıneas punteadas indicando adem´as los incrementos unitarios por
concepto de primas en cada intervalo. Se muestra adem´as un posible mo-
mento τ en donde se presenta la ruina. La propiedad de Markov del proceso
de riesgo nos permitir´a encontrar una f´ormula recursiva para la probabili-
dad de ruina en este modelo discreto. En las expresiones que escribiremos