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156 6. Procesos estoc´ asticos

general de martingalas que ser´a usado en la ´ultima parte del curso. Recuerde
la notaci´on x y m´ın x, y .

Teorema 6.1 (Teorema de paro de martingalas).Sea X t : t 0
una martingala y sea τ un tiempo de paro, ambos respecto de una filtraci´on
F t t 0 .Entonces X t τ : t 0 es tambi´en una martingala, es decir, para
cualesquiera 0 s t,

X s τ c.s.
E X t τ F s

La demostraci´on de este resultado puede encontrarse en [30] o [39]. En el
siguiente cap´ıtulo usaremos la teor´ıa de martingalas para estimar la proba-
bilidad de ruina en el modelo cl´asico de Cram´er-Lundberg.

Comentarios y referencias

Como preparaci´on para los modelos din´amicos de riesgo que estudiaremos en
los siguientes cap´ıtulos, hemos presentado aqu´ı algunos conceptos elemen-
tales de los procesos estoc´asticos, as´ı como algunos ejemplos particulares
de este tipo de modelos matem´aticos. Para mayor informaci´on sobre estos
temas el lector puede consultar cualquiera de los textos sobre procesos es-
toc´asticos que aparecen en la bibliograf´ıa, por ejemplo, Basu [3], Hoel et
al. [19], Karlin y Taylor [20], Resnick [29] y Stirzaker [37].

6.8. Ejercicios

Caminatas aleatorias

136. Para la caminata aleatoria simple X n : n 0 sobre Z demuestre
que para n 1:

a) E X n n p q .
b) Var X n 4npq.
c) E e tX n pe t qe t n .