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158 6. Procesos estoc´ asticos

139. Suponga que X n : n 0 es una cadena de Markov con espacio de
estados 0, 1 y con matriz de probabilidades de transici´on

1 2 1 2
P .
1 10 9 10
El estado 0 representa no contar con un seguro de vida y el es-
tado 1 corresponde a tener alg´un seguro de vida. La din´amicade
contratar o no contratar un seguro de vida para cada persona en
periodos sucesivos de tiempo est´a dada por la cadena de Markov.
Si inicialmente la mitad de la poblaci´on est´a asegurada, calcule el
porcentaje de la poblaci´on que estar´a asegurada en los periodos 1,
2 y 3 por separado.

Proceso de Poisson

140. Suponga que las llegadas de reclamaciones a una compa˜n´ıa asegu-
radora siguen un proceso de Poisson de intensidad λ 5, en donde
la unidad de tiempo es un d´ıa, es decir, en promedio llegan 5 recla-
maciones por d´ıa. Calcule la probabilidad de que:

a) No se reciba ninguna reclamaci´on en un d´ıa cualquiera.
b) Se reciban m´as de 10 reclamaciones en un d´ıa cualquiera.

c) Se reciba una sola reclamaci´on en los siguientes tres d´ıas.
141. Los clientes ingresan a un establecimiento de acuerdo a un proceso
de Poisson a raz´on de 10 clientes por hora en promedio. Calcule la
probabilidad de que:
a) En una hora cualquiera no llegue ning´un cliente.
b) No llegue ning´un cliente en una jornada de 12 horas.
c) Se presente exactamente un cliente en todas y cada una de las
12 horas en las que est´a abierto el establecimiento en un d´ıa.

142. Superposici´on. Demuestre que la suma de dos procesos de Poisson
independientes es nuevamente un proceso de Poisson con par´ametro
la suma de los par´ametros. Nota: la operaci´on suma debe entenderse
en el sentido de superponer los dos procesos puntuales.