Page 169 - riesgo2012

6.8. Ejercicios 159

143. Thinning. Sea N t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro
λ 0. Considere una sucesi´on de variables aleatorias Y 1 ,Y 2 ,...
independientes, con distribuci´on com´un Ber p eindependientes del
proceso de Poisson. Defina el proceso X t : t 0 como aparece
abajo, definiendo adem´as a X t como cero cuando N t es cero.

N t
X t Y k ,
k 1

As´ı, el proceso X t : t 0 representa un subconteo del proceso de
Poisson inicial.

a) Demuestre que X t : t 0 es un proceso de Poisson de
par´ametro λp.
b) Sea t 0 fijo. Demuestre que las variables aleatorias X t y
N t X t son independientes. En general se cumple que los
procesos estoc´asticos X t : t 0 y N t X t : t 0 son
independientes.

144. Suponga que los accidentes automovil´ısticos en una cierta ciudad
ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson con un promedio de
cinco accidentes por semana. Suponga adem´as que la probabilidad
de que en cada accidente haya personas lastimadas que requieran
atenci´on m´edica es 0.2 . Calcule la probabilidad de que:

a) En un d´ıa no se presente ning´un accidente.
b) En una semana no se presente ning´un accidente.

c) En un mes no se presente ning´un accidente con personas las-
timadas.

145. Sea N t : t 0 un proceso de Poisson con par´ametro λ,y sea
a 0 una constante. Demuestre que N at : t 0 es un proceso de
Poisson con par´ametro λa.

146. Considere dos procesos de Poisson independientes de par´ametros λ 1
y λ 2 .Sea X el n´umero de eventos que ocurren en el primer proceso