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6.6. Cadenas de Markov a tiempo continuo 153

de este tiempo la cadena salta al estado 1 ypermanece all´ı otro tiempo
exponencial de par´ametro λ eindependiente delprimero, y as´ısucesiva-
mente hasta llegar al ´ultimo estado transitorio k.Despu´es de estar en este
´ ultimo estado un tiempo exponencial, la cadena finalmente salta al estado
absorbente 0 ypermanece all´ı elresto deltiempo. Es claro que eltiempo de
absorci´on τ tiene distribuci´on Erlang k, λ pues es la suma de k variables
aleatorias independientes con distribuci´on exponencial de par´ametro λ. Por
lo tanto la funci´on de densidad de τ es

λt k 1 λt
f t λte , t 0.
k 1 !

En particular, cuando ´unicamente hay un estado transitorio, es decir, k 1,
se obtiene la distribuci´on exponencial.

Del mismo modo que lo hicimos en el caso discreto, mencionaremos ahora
algunas f´ormulas que se conocen para las distribuciones tipo fase continuas.
Las demostraciones de estas propiedades y algunas otras pueden encontrarse
en Rolski et al. [32]. Recordemos que la funci´on exponencial de una matriz
cuadrada A de dimensi´on finita se define mediante la serie de potencias de
Taylor:
1
A
n
e : A .
n!
n 0
a) Para cada t 0,
T
P τ t π 0 π exp tB e . (6.5)

b) Si π 0 0 y la matriz B es no singular, entonces τ tiene funci´on de
densidad
T
f t π exp tB b , t 0.

c) Si la matriz B es no singular, entonces para cada n 1,

e .
E τ n 1 n n! π B 1 n T
Ejemplo 6.9 (Distribuci´on Erlang) Considere nuevamente la situaci´on
del Ejemplo 6.8 en donde el tiempo de absorci´on tiene distribuci´on Erlang k, λ .