Page 165 - riesgo2012

6.7. Martingalas 155

resultados desarrollados para martingalas nos ser´an de utilidad para pre-
sentar una forma de resolver ciertos problemas de la teor´ıa de la ruina. La
siguiente es la definici´on de martingala, la cual puede tambi´en enunciarse
para tiempos discretos.

Definici´on 6.11 Un proceso a tiempo continuo X t : t 0 que es adap-
tado a una filtraci´on F t t 0 yque es integrable, es decir, cada variable que
conforma el proceso tiene esperanza finita, se llama una martingala si para
0 s t se cumple
E X t F s X s c.s. (6.6)

La identidad (6.6) establece un tipo de dependencia probabil´ıstica parti-
cular entre las variables aleatorias que conforman una martingala. Este es
entonces otro ejemplo de proceso estoc´astico. En el Ap´endice se encuentra
una revisi´on breve de la definici´on y algunas propiedades de la esperanza
condicional como la que aparece en (6.6). Las martingalas son procesos que
est´an relacionados con los juegos justos. Por ejemplo, si la variable X t re-
presenta la fortuna de un jugador al tiempo t, y quien supondremos apuesta
de manera continua, entonces la igualdad anterior se interpreta del siguiente
modo: en promedio la fortuna del jugador al tiempo t dada toda la historia
del juego hasta el tiempo s anterior a t es la fortuna del jugador al tiem-
po s, es decir, el juego es justo pues el jugador en promedio no pierde ni

gana. Cuando en lugar de (6.6) se cumple E X t F s X s se dice que el
proceso es una supermartingala, se trata entonces de un juego desfavorable
al jugador pues en promedio su fortuna disminuye. En caso de la desigual-
dad contraria el proceso es una submartingala, juego favorable al jugador.
Cuando se toma esperanza en la ecuaci´on (6.6) se obtiene

E X t E X s ,
para 0 s t. Esto quiere decir que todas las variables aleatorias que
conforman una martingala tienen la misma esperanza. En particular, si la
variable inicial X 0 es cero o su esperanza es cero, entonces E X t 0 para
cualquier t 0. Algunos ejemplos sencillos de martingalas aparecen en
la secci´on de ejercicios. Finalmente enunciaremos un resultado de la teor´ıa