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160 6. Procesos estoc´ asticos

entre dos eventos sucesivos del segundo proceso. Demuestre que X
tiene la siguiente distribuci´on geom´etrica.
n
λ 2 λ 1
P X n , n 0.
λ 1 λ 2 λ 1 λ 2

Cadenas de Markov a tiempo continuo

147. Escriba el sistema retrospectivo de ecuaciones diferenciales de Kol-
mogorov para las probabilidades p 0n t p n t del proceso de Poi-
sson y compruebe que su soluci´on es p n t e λt λt n n!

Martingalas

148. Martingala del juego de apuestas. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de
variables aleatorias independientes id´enticamente distribuidas y con
esperanza finita. Para cada entero n 1 defina

X n ξ 1 ξ n .
Demuestre que el proceso a tiempo discreto X n : n 1 es una
martingala si y s´olo si E ξ 0.

149. Proceso de Poisson centrado. Sea N t : t 0 un proceso de Poi-
sson de par´ametro o intensidad λ, junto con su filtraci´on natural.
Demuestre que el proceso centrado N t λt : t 0 es una martin-
gala.

150. Procesos con incrementos independientes. Sea X t : t 0 un pro-
ceso estoc´astico a tiempo continuo tal que cada una de sus va-
riables aleatorias tiene esperanza finita. Suponga que el proceso
tiene incrementos independientes. Demuestre que el procesocen-
trado X t E X t : t 0 es una martingala.
151. Martingala de de Moivre. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de variables
aleatorias independientes cada una de ellas con la misma distribu-
ci´on dada por

P ξ 1 p
y P ξ 1 q 1 p.