Page 164 - riesgo2012

154 6. Procesos estoc´ asticos

El estado inicial es X 0 1 y por lo tanto π 0 0.Entonces la matriz de
subintensidades B es no singular y tiene la forma

λ λ 0 0
0 λ λ 0
B 0 0 λ 0 .
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 λ
k k
Las f´ormulas arriba mencionadas se reducen a las expresiones conocidas
para la distribuci´on Erlang k, λ ,es decir,

k 1 λt n
a) P τ t e λt , t 0.
n!
n 1
λt k 1
b) f t λte λt , t 0.
k 1 !
n k 1 !
c) E τ n , n 1.
λ n k 1 !

Estas expresiones se reducen a´un m´as en el caso exponencialcuando k 1.

En la ´ultima parte de este texto usaremos las distribuciones tipo fase para
modelar los montos de las reclamaciones y aprovecharemos sus propiedades
computacionales para encontrar una f´ormula para la probabilidad de rui-
na en un modelo de riesgo a tiempo continuo. En particular haremos uso
de la f´ormula (6.5). Se puede encontrar mayor informaci´on sobre las dis-
tribuciones tipo fase, incluyendo las demostraciones de los resultados arriba
enunciados, en el texto de Rolski et al. [32]. En el art´ıculo de Bladt [5] puede
tambi´en encontrarse una excelente exposici´on sobre el uso y aplicaci´on de
las distribuciones tipo fase en la teor´ıa del riesgo.

6.7. Martingalas

Las martingalas son un tipo de proceso estoc´astico que aparece con frecuen-
cia tanto en la teor´ıa general de procesos como en las aplicaciones. Algunos