Page 161 - riesgo2012

6.6. Cadenas de Markov a tiempo continuo 151

de distribuci´on de probabilidad que surge a partir de cadenas de Markov a
tiempo continuo con espacio de estados finito y que permiten encontrar una
f´ormula para la probabilidad de ruina en un modelo de riesgo cuando las
reclamaciones tienen este tipo de distribuciones. Estudiaremos esta f´ormula
en la ´ultima parte del texto.

Distribuciones continuas tipo fase
Definiremos ahora las distribuciones tipo fase, las cuales tambi´en se pueden
definir a partir de ciertas cadenas de Markov a tiempo continuo.Sea X t :
t 0 una cadena de Markov a tiempo continuo con espacio de estados
0, 1, 2,... ,k en donde el estado 0 es absorbente y los estados 1, 2,... ,k
son no absorbentes. Suponga que el generador infinitesimal de esta cadena
es de la forma:

0 0
G ,
b T B
en donde nuevamente 0 es el vector rengl´on 0, 0,... , 0 de dimensi´on k, b
es el vector reng´on b 1 ,b 2 ,... ,b k con no todas sus entradas cero y B es
una matriz cuadrada de k k tal que la matriz completa G es un genera-
dor infinitesimal. A la matriz B se le llama matriz de subintensidades. En
particular,
T
b T Be T 0 , (6.4)
en donde e es el vector rengl´on 1, 1,... , 1 de dimensi´on k. Supondremos
que la cadena inicia en cualquiera de sus estados, incluyendo el estado ab-
sorbente, a trav´es de una distribuci´on de probabilidad inicial

π π 0 , π 1 ,... , π k .

Y nuevamente denotaremos por π al subvector cuyas entradas corresponden
a la distribuci´on de probabilidad inicial para estados no absorbentes.

π π 1 , π 2 ,... , π k .

Cuando π 0 0 el subvector π es efectivamente una distribuci´on de probabi-
lidad. Si la cadena inicia en alguno de sus estados no absorbentes, entonces
visitar´a estados absorbentes un tiempo aleatorio exponencial en cada de uno