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150 6. Procesos estoc´ asticos

Ejemplo 6.6 (Proceso de Poisson) El sistema de ecuaciones retrospec-
tivas de Kolmogorov para el proceso de Poisson de par´ametro λ est´a dado
por

p t λp ii t
ii
p ij t λp ij t λp i 1,j t para i j.

Ysabemos que la soluci´on es p ij t e λt λt j i j i ! para i j.

Ejemplo 6.7 (Cadena de dos estados) El sistema de ecuaciones retros-
pectivas de Kolmogorov para la cadena de Markov de dos estados definida
en el Ejemplo 6.3 est´a dado por

p 00 t λ p 00 t λ p 10 t ,
p 01 t λ p 01 t λ p 11 t ,
p 10 t µp 10 t µp 00 t ,
p 11 t µp 11 t µp 01 t .

Pueden resolverse estas ecuaciones y encontrar las expresiones que fueron
enunciadas anteriormente.

Al sistema de ecuaciones diferenciales dado por la igualdad P t P t G se
le llama sistema de ecuaciones prospectivas de Kolmogorov. La diferencia
entre este sistema y el sistema retrospectivo mencionado antes es que el
orden de los factores en el lado derecho es distinto. M´as expl´ıcitamente, el
sistema prospectivo es el siguiente

p ij t p ik t g kj .
k
En algunos casos los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes y su solu-
ci´on produce las mismas probabilidades de transici´on p ij t . En general, el
sistema retrospectivo es el que siempre se satisface.
Los procesos de nacimiento y muerte son un tipo particular importante
de cadena de Markov a tiempo continuo. Este tema y una exposici´on m´as
detallada sobre este tipo de proceso estoc´astico puede ser encontrada, por
ejemplo, en el texto de Hoel, Port y Stone [19], en Basu [3], en Karlin y
Taylor [20] o en Rolski et al. [32]. Concluimos esta secci´on definiendo un tipo