Page 159 - riesgo2012

6.6. Cadenas de Markov a tiempo continuo 149

Puede demostrarse que el generador infinitesimal caracteriza de manera
´ unica a la cadena de Markov. As´ı, a esta misma matriz se le llama a veces
cadena de Markov a tiempo continuo, y es el concepto equivalente a la matriz
de probabilidades de transici´on en un paso para cadenas a tiempo discreto.
Se trata de una matriz con las siguientes propiedades:

0, si i j.
a) g ij
b) g ii 0.
c) g ij 0.
j

Ejemplo 6.4 El generador infinitesimal para el proceso de Poisson de pa-
r´ametro λ es
λ λ 0 0
0 λ λ 0
G 0 0 λλ . (6.2)
. . . . . . . . .

Ejemplo 6.5 El generador infinitesimal para la cadena de Markov de dos
estados del Ejemplo 6.3 es
λ λ
G . (6.3)
µ µ

Ecuaciones de Kolmogorov

Puede demostrarse que las probabilidades de transici´on p ij t satisfacen el
sistema de ecuaciones diferenciales dado por

p ij t g ik p kj t , t 0.
k

Observe que se tiene una ecuaci´on diferencial para cada par ordenado de
estados i, j . En t´erminos de matrices la igualdad anterior se escribe

P t GP t .

A este sistema de ecuaciones diferenciales se le conoce como las ecuaciones
retrospectivas de Kolmogorov.