Page 158 - riesgo2012

148 6. Procesos estoc´ asticos

En consecuencia, por complemento o simetr´ıa,
λ λ λ µ t
p 01 t e ,
λ µ λ µ
λ µ
p 11 t e λ µ t ,
λ µ λ µ
µ µ λ µ t
p 10 t e .
λ µ λ µ
En notaci´on matricial,
p 00 t p 01 t 1 µ λ 1 λ λ λ µ t
e .
p 10 t p 11 t λ µ µ λ λ µ µ µ

Probabilidades de transici´on

Hemos mencionado antes que para una cadena de Markov a tiempo continuo
las probabilidades de transici´on son los n´umeros p ij t P X t j X 0 i .
El problema que puede plantearse es el de encontrar una expresi´on para las
probabilidades de transici´on p ij t para cada par de estados i y j, y para
cada tiempo t 0. Este es un problema demasiado general y s´olo en algunos
pocos casos es posible encontrar expl´ıcitamente tales probabilidades. Los
anteriores dos ejemplos son casos muy sencillos en donde es posible encontrar
las probabilidades p ij t .

El generador infinitesimal

A partir de los par´ametros λ i y p ij de una cadena de Markov a tiempo
continuo se pueden definir las cantidades g ij de la siguiente forma:
λ i si i j,
g ij
λ i p ij si i j.
A estos n´umeros se les conoce con el nombre de par´ametros infinitesimales
del proceso. Haciendo variar los ´ındices i y j, estos nuevos par´ametros con-
forman una matriz G llamada el generador infinitesimal del proceso de
Markov, es decir,

λ 0 λ 0 p 01 λ 0 p 02
λ 1 p 10 λ 1 λ 1 p 12
G .
λ 2 p 20 λ 2 p 21 λ 2
. . . . . . . . .